概率论基础

# 概率论的基础 ## Learning outcomes - Define a random variable, an outcome, and an event - Identify the two defining properties of probability, including mutually exclusive and exhaustive events - Compare and contrast empirical, subjective, and a priori probabilities - Describe the probability of an event in terms of odds for and against the event - Calculate and interpret conditional probabilities - Demonstrate the application of the multiplication and addition rules for probability - Compare and contrast dependent and independent events - Calculate and interpret an unconditional probability using the total probability rule - Identify the most appropriate method to solve a particular counting problem - Analyze counting problems using factorial, combination, and permutation concepts ## 相关术语 ### 随机变量（Random Variable） - A random variable is a quantity whose future outcomes are uncertain. ### 结果（Outcomes） - An outcome is a possible value of a random variable. ### 事件（Events） - An event is a specified set of outcomes. ## 事件之间的关系 ### 互斥事件（Mutually Exclusive Events） - Two events are mutually exclusive if they cannot occur at the same time. ### 遍历事件（Exhaustive Events） - A set of events is exhaustive if one of the events must occur. ### 独立事件（Independent Events） - Two events are independent if the occurrence of one event does not affect the occurrence of the other event. ## 概率的定义与确定方法 ### 概率的定义 - 任意事件E的概率必须在0和1之间，即0 ≤ P(E) ≤ 1。 - 一组互斥且遍历事件的概率之和等于1：$\sum_{i=1}^{n} P(E_i) = 1$。 ### 概率的确定方法 - 经验概率（Empirical Probability） - 通过历史数据来估算事件未来发生的概率。 - 先验概率（Priori Probability） - 通过逻辑分析而不是历史数据或主观判断来确定事件发生的概率。 - 主观概率（Subjective Probability） - 依据个人主观判断来确定事件发生的概率。 ### 赔率（Odds） - 公式：$\text{Odds} = \frac{P(E)}{1 - P(E)}$ ### 条件概率 - 在已知某事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为$P(A|B)$。 ## 概率的计算 ### 乘法法则（Multiplication Rule） ### 加法法则（Addition Rule） ### 全概率公式（Total Probability Formula） - 公式：$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \times P(B_i)$ - 其中，事件$B_i$是一组互斥且遍历事件。 ### 贝叶斯公式（Bayes' Formula） - 公式：$P(B|A) = \frac{P(A|B) \times P(B)}{P(A)}$ ## 随机变量的统计量 ### 期望值（Expected Value） - 定义：随机变量的期望值是该随机变量的所有可能取值的加权平均值。 - 性质1：对任意常数c，$E(cX) = cE(X)$ - 性质2：对于资产组合来说，资产组合收益率的期望等于组合中每个资产收益率的加权平均值。 - 公式：$E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i \times E(R_i)$ - $w_i$：资产i的权重 ### 方差（Variance） ### 标准差（Standard Deviation） ### 协方差（Covariance） ### 相关系数（Correlation Coefficient） ## 排列组合 ### 组合（Combination） - 阶乘（Factorial）：$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$ - 多项式公式（Multinoial Formula）：$C(n, r) = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \cdots \times n_k!}$ - 其中，$n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n$ - 组合公式（Combination Formula）：$C(n, r) = \frac{n!}{r! \times (n-r)!}$ - 例如10只股票中选出4只股票给予买入评级，共有$C_{10}^4 = \frac{10!}{4! \times 6!} = 210$种可能。 ### 排列（Permutation） - 与组合的区别：排列考虑顺序，组合不考虑顺序。 - 公式：$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ - 例如10只股票中选出4只股票给予买入评级，共有$P_{10}^4 = \frac{10!}{6!} = 5040$种可能。